高斯求和 1+2+…+100

题目

据说小学老师布特纳为了让学生安静，出了一题：把 $1+2+3+\cdots+100$ 全部加起来。别的同学还在埋头苦加，9 岁的高斯（后来的数学王子）片刻就写出了答案。

他算的，到底是什么？

答案与解析

答案：5050。

高斯的窍门是把数列正着写一遍、反着写一遍再相加：

$$\begin{aligned} S &= 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 \\ S &= 100 + 99 + 98 + \cdots + 1 \\ \hline 2S &= (1+100) + (2+99) + \cdots + (100+1) \end{aligned}$$

每一对的和都是 $101$，一共有 $100$ 对，所以：

$2S = 100 \times 101 = 10100 \quad\Rightarrow\quad S = 5050$

背后的数学

这背后是等差数列求和公式。首项 $a_1$、末项 $a_n$、项数 $n$ 的等差数列，和为：

$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$

高斯的办法本质是“首尾配对”——当项数为偶数时，正好配成 $n/2$ 对；项数为奇数时，中间那项恰好是平均数，公式依然成立。

这个idea远不止小朋友速算：它和梯形面积公式、积分的黎曼和、甚至组合恒等式都同源。一个 9 岁孩子的灵感，其实是整个“求和”观念的缩影。