勾股数工厂：一键生成所有整数直角三角形

题目

找出几组满足 $a^2 + b^2 = c^2$ 的正整数解（勾股数），比如最小的 3,4,5。有没有系统办法“生产”无穷多组？

答案与解析

最经典的一组：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$。

欧几里得公式能批量产出全部本原勾股数（互素的）：任取整数 $m>n>0$，令 $a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2$ 则必有 $a^2+b^2=c^2$。

试几个：

• $m=2,n=1$：$(3,4,5)$
• $m=3,n=2$：$(5,12,13)$
• $m=4,n=1$：$(15,8,17)$
• $m=3,n=1$：$(8,6,10)$（非本原，是 3-4-5 的两倍）

只要 $m,n$ 一奇一偶且互素，就得到本原解；乘上任意倍数又得到非本原解。

背后的数学

这本质是给方程 $x^2+y^2=z^2$ 做参数化，对应单位圆上取有理点。更一般地，$x^n+y^n=z^n\ (n>2)$ 没有正整数解——这正是费马大定理，怀尔斯 1994 年才证完。勾股数因此成了“最简单却已封神”的丢番图方程范例。