勾股定理的百种证法

题目

直角三角形两直角边 $a,b$，斜边 $c$，满足 $a^2+b^2=c^2$。你会几种证法？

答案与解析

① 赵爽弦图（三国时期）：用四个全等的直角三角形围出一个边长为 $c$ 的大正方形，中间空出边长为 $b-a$ 的小正方形，面积两算法即得 $(a+b)^2 = c^2 + 4\cdot\frac{ab}{2}$，化简即 $a^2+b^2=c^2$。

② “总统证法”：美国第 20 任总统加菲尔德在当议员时，用两个直角三角形拼成直角梯形，用梯形面积公式一键导出。

③ 相似三角形法：斜边上的高把原三角形分成两小块，都与原形相似，由 $a^2=c\cdot m,\ b^2=c\cdot n$（$m,n$ 为斜边两段），相加得 $a^2+b^2=c(m+n)=c^2$。

背后的数学

勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）是数学里被证明次数最多的定理之一，现存证法逾 400 种。它既是几何（面积关系）也是代数（平方和）的汇合点，更是三角函数、向量内积、距离公式的源头。一个等式，撑起了整个人类度量世界的骨架。