海盗分金

题目

5 个海盗（按等级编号 1 到 5，1 号最大）抢到 100 枚金币。分配规则：

1. 由当前最资深的海盗提出分配方案；
2. 所有存活海盗投票，包括提议者自己；
3. 若赞成票 ≥ 半数（即不低于一半），方案通过，按此分；
4. 否则提议者被扔下海，由下一位重新提议。

海盗们的优先级完全一致：第一保命，第二拿尽可能多的金，第三若能不影响前两者就尽量多扔人下海。

1 号海盗该怎么分，才能活下来且拿最多？

答案与解析

用逆向归纳从最少人推起（假设每人绝对理性）：

• 只剩 5 号：他自己一票即半数，独吞 100。
• 剩 4、5 号：4 号提方案，自己 1 票 < 2 票的半数（半数是 1，需 ≥1？这里两人时半数是 1，4 号自己 1 票已达半数）→ 等等，两人时“半数”是 1，4 号自己投赞成就 ≥1，通过。所以 4 号其实能独吞！（不同版本对“超过半数”还是“至少半数”有差异；本题用“≥ 半数”，则 4 号稳赢。）为稳妥，常见版本用“超过半数”，那样 4 号必死、5 号独吞。我们采用更经典、更反直觉的“超过半数”规则继续：
  • 剩 4、5：4 号最多 1 票，未超过半数（需 2 票），死；5 号最后独吞。
• 剩 3、4、5：3 号需 2 票。他给自己 1 票，只要再拉 1 票。4 号知道若 3 死，自己必死，所以 3 号给 4 号 1 枚就能收买（4 号拿 1 胜过错死拿 0）。方案：3号99, 4号1, 5号0。
• 剩 2、3、4、5：2 号需 3 票，自己 1 票，再拉 2 票。最便宜的是收买“若 2 死则一分不得”的人——即 4、5 在上一轮得 0，给各 1 枚即可。方案：2号98, 3号0, 4号1, 5号1。
• 5 人全在：1 号需 3 票，自己 1 票，再拉 2 票。看上一轮谁得 0：3 号（得 0）、以及……2 号方案里 3 得 0、其他人得正。所以 1 号收买 3 号给 1 枚，再收买 5 号（上一轮得 1，给 2 枚更稳）或 4 号（上一轮得 1，给 2）。最省：给 3 号 1 枚、给 5 号（或 4 号）2 枚。

最终 1 号方案：1号97, 2号0, 3号1, 4号0, 5号2（或把 2 与 4 对调）。

背后的数学

这是博弈论里“最后通牒 + 逆向归纳”的经典模型。反直觉之处在于：最有权力的老大，反而只拿“刚好收买足够票数”的最小份额，而看似无害的中间者可能一文不得。

核心方法是动态博弈的逆向归纳法：从终局倒推每个参与者的“保留收益”，再用最小成本收买关键票。它和现实中的议会博弈、公司股权争夺、甚至拍卖设计，逻辑同构。