皮克定理：数格点就算面积

题目

在方格纸上画一个顶点都落在格点上的简单多边形。不用割补、不用积分，只数两个数就能算出面积：

• $I$：多边形内部的格点数
• $B$：多边形边界上的格点数

面积 $A$ 等于什么？

答案与解析

**皮克定理（Pick’s Theorem）**给出： $A = I + \frac{B}{2} - 1$

举例：一个 $3\times2$ 的矩形，内部格点 $I=2$，边界格点 $B=8$（周长上的格点），面积 $=2+4-1=5$，正是 $3\times2=6$？——等等，数清楚：$3\times2$ 矩形边界格点应为 $2(3+1)+2(2+1)-4=8$，内部 $I=(3-1)(2-1)=2$，面积 $=2+4-1=5$，可矩形明明是 6？重新数：矩形宽 3 高 2 指格点数跨度，实际边长是 2 和 3？若跨 3 格点则边长 2，跨 2 格点则边长 1，面积 $=2\times1=2$。以边长论才对。取标准单位方格拼成的 $2\times3$ 矩形（边长 2 和 3）：$I=2,\ B=8$，面积 $=2+4-1=5$？仍不对——$I$ 应为 $(2-1)(3-1)=2$ 正确，$B=2·2+2·3=10$，面积 $=2+5-1=6$。✓ 公式成立。

背后的数学

皮克定理（1899）把连续的面积与离散的格点美丽地勾连起来。它可推广到带洞多边形（$A=I+B/2-1+h$，h 为洞数），也是计算几何与晶格理论的入门钥匙——很多“数点即知面积”的算法都源于此。