等待时间悖论：班车平均10分钟，你却等15分

题目

某路公交平均10 分钟一班，但班次间隔并不均匀（有时 2 分钟，有时 25 分钟）。你随机时刻到站，平均要等多久？

直觉：平均间隔 10 分钟，等一半即 5 分钟。但实际往往远不止。

答案与解析

你随机到达，落入某个间隔的概率正比于该间隔的长度。长间隔（25 分钟）被你“撞上”的机会，远大于短间隔（2 分钟）。因此你的平均等待时间是按长度加权的间隔均值的一半，而不是简单均值的一半。

若间隔长度分布均值为 $m$、平方均值为 $E[T^2]$，则平均等待 $E[W] = \frac{E[T^2]}{2E[T]}$ 当间隔波动大时，这明显大于 $m/2$。例如间隔交替为 2 和 18 分钟（均值 10），则 $E[T^2]=(4+324)/2=164$，平均等待 $=164/(2\times10)=8.2$ 分钟——比 5 大得多。

背后的数学

这叫检阅悖论 / 长度偏倚抽样（length-biased sampling）。同理：你随机挑一个乘客，他的人均乘车时长偏长；随机进一家餐厅，遇到的大桌概率偏高。它提醒我们——随机“时间点”采样与随机“个体”采样，分布根本不同。