抽签公平性：先抽后抽都一样

题目

$n$ 个人依次抽取 1 张中奖券（其余 $n-1$ 张为空），抽后不放回。第 $k$ 个人（无论 $k=1$ 还是最后）中奖的概率，是多少？

很多人觉得“越往后越没机会”。事实呢？

答案与解析

人人都是 $1/n$，与抽签顺序无关。

用条件概率算第 $k$ 人：要他中奖，前面 $k-1$ 人必须全落空。 $P(\text{前}k-1\text{全空}) = \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{n-k+1}{n-k+2} = \frac{n-k+1}{n}$ 然后第 $k$ 人在剩下 $n-k+1$ 张中抽到唯一奖券（概率 $1/(n-k+1)$）： $P = \frac{n-k+1}{n}\cdot\frac{1}{n-k+1}=\frac1n$

对 $k=1$ 显然 $1/n$；对最后一人，前面全空概率 $1/n$，此时必中，仍是 $1/n$。

背后的数学

这是对称性与条件概率的优雅结论，常用于反驳“排队抽签吃亏”的误解。前提是无人作弊、奖券真实随机且不放回。一旦允许“看前面结果调整策略”（如知道前面都空了，后面中奖率确实升高），那是另一回事——但事先约定的纯随机抽签，对所有人绝对公平。