生日悖论
一个房间里只要 23 个人，就有一半以上的概率出现两人生日相同；50 人时概率已高达 97%。远比直觉小得多。
题目
假设一年 365 天、生日均匀分布、互不相关。请问：至少需要多少人，才有一半以上的概率出现“至少两人生日相同”？
很多人会猜“得一百多人吧”。答案是 23 人。
答案与解析
直接算“有相同”很麻烦，我们算它的反面——所有人生日都互不相同的概率：
第 1 人随便哪天；第 2 人避开他，概率 ；第 3 人避开前两人，；……第 人为 。
= \frac{365!}{365^k\,(365-k)!}$$ 代入 $k=23$： $$P(\text{全不同}) \approx 0.4927 \quad\Rightarrow\quad P(\text{有相同}) \approx 0.5073$$ 所以 23 人时，“有相同生日”的概率首次过半。$k=50$ 时约为 $0.970$，$k=70$ 时超过 $0.999$。 ## 背后的数学 反直觉的根源在于：我们比较的不是“某人跟你同生日”（那确实要 183 人才能过半），而是“**任意两人之间**是否配对”。配对数随人数**平方**增长——23 人就有 $\binom{23}{2}=253$ 对，足够让“撞上”变得很可能。 这其实是**哈希冲突**的同一原理：抽屉（生日）只有 365 个，往里扔 $\sqrt{365}\approx 19$ 个“球”时，碰撞概率就已可观。它在密码学（生日攻击）中至关重要。