亲和数：220 与 284 的互相守望

题目

找出一对正整数，使得甲的所有真因数（除自身外）之和等于乙，乙的所有真因数之和又等于甲。

答案与解析

最小的亲和数对是 220 和 284：

• 220 的真因数：1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110，和 = 284。
• 284 的真因数：1,2,4,71,142，和 = 220。

它们互相“补全”，像数学里的友谊。毕达哥拉斯甚至说：真朋友就该像 220 与 284 一样彼此成全。

欧拉给出了系统构造法（基于特定形式的素数乘积），由此找到大量亲和数对。如今已知亲和数超过 10 亿对，而且还有“联谊数”（三个数循环相成）等推广。

背后的数学

亲和数是亲和数理论的起点，与完全数（自身等于自身因数和）同属 $\sigma(n)$（因数和函数）的研究。判断一对 $(a,b)$ 是否亲和，即验证 $\sigma(a)=a+b=\sigma(b)$。这类“数之间的对称性”，在中世纪被用于制作具有神秘寓意的护身符，也算数学与文化的奇妙交汇。