水壶问题：3升和5升凑出4升

题目

你有两个没有刻度、容量分别为 3 升和 5 升的水壶，以及 unlimited 的水源。如何量出恰好 4 升水？

（电影《虎胆龙威3》里的经典桥段。）

答案与解析

一种走法（从空壶起）：

1. 装满 5 升壶；
2. 用 5 升壶把 3 升壶倒满 → 5 升壶剩 2 升；
3. 倒空 3 升壶，把那 2 升倒进去；
4. 再装满 5 升壶，用它把 3 升壶补满（还差 1 升）→ 5 升壶剩 4 升。✓

背后的数学

这其实是丢番图方程 / 贝祖等式（Bézout’s identity）：能否量出 $d$ 升，取决于 $d$ 是否能被两壶容量的最大公约数整除。这里 $\gcd(3,5)=1$，所以任意整数升都能量出。

一般地，用容量 $a,b$ 的壶能得到的所有水量，正好是 $\gcd(a,b)$ 的整数倍。它把“倒水游戏”和提升幂次、模运算系在同一根绳上——看似生活小技，底下是整数环的结构。