12 个球称 3 次

题目

你有 12 个球，看上去完全一样，其中恰好有 1 个是“异常球”——它要么比别的轻，要么比别的重，但你事先不知道是哪一种。给你一个没有砝码的天平，只能称 3 次。

目标：找出那个异常球，并判断它偏轻还是偏重。

答案与解析

把球编号 1–12。第一次称量很关键：左盘放 1,2,3,4，右盘放 5,6,7,8。

• 若平衡：异常球在 9,10,11,12 中，且 1–8 都是标准球。第二次称 9,10,11 对 1,2,3（标准球）：

  • 平衡 → 12 是异常，第三次拿 12 对标准球知轻重；
  • 不平衡 → 异常在 9,10,11 中且知方向（比如左边重，则异常偏重且在 9,10,11）。第三次在三个里任取两个互称即可定位。

• 若不平衡（设左边重）：异常在 1–8 中，且 9–12 标准。此时已知“若异常在 1,2,3,4 则偏重，若异常在 5,6,7,8 则偏轻”。第二次称：左盘放 1,2,5，右盘放 3,6,9（9 是标准球）。根据这次的三种结果，结合已知的方向约束，第三次只需在剩余 3 个可疑球中互称一次即可锁定。

完整推理是一棵 3 层的决策树，每一步都把“可疑对象 + 轻重方向”均分成三份（天平有左重、右重、平衡三种结果，正好对应三进制信息）。

背后的数学

这是信息论的绝佳例子。天平一次给出 3 种结果，称 3 次共有 $3^3=27$ 种可能输出。而我们要区分的“状态”有 $12\times 2=24$ 种（12 个球 × 偏轻/偏重），加上“全正常”共 25 种。$27\ge 25$，所以理论上可行——上面的方案正是把 24 种状态完美编码进这 27 个叶子。

若球再多 1 个（13 个），状态变成 26 种，仍然 $27\ge 26$……实际上 13 个球也能在 3 次内找出异常（但不一定能同时知其轻重）。这道题告诉我们：先算“信息上限”，往往能判断一个谜题到底有没有解。