100! 末尾有多少个零

题目

$100! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 100$ 的十进制末尾，有多少个连续的零？

（提示：末尾每多一个零，就多一个因子 10 = 2 × 5。）

答案与解析

每出现一对 $2 \times 5$，就贡献一个末尾零。乘积里 2 的因子到处都是（偶数都贡献），真正稀缺的是 5。所以只需数 1 到 100 中总共含多少个因子 5：

• 5 的倍数： $\lfloor 100/5 \rfloor = 20$ 个，各贡献至少 1 个 5；
• 25 的倍数： $\lfloor 100/25 \rfloor = 4$ 个（25,50,75,100），每个额外再多 1 个 5；
• 125 的倍数： $\lfloor 100/125 \rfloor = 0$。

合计 $20 + 4 = 24$ 个因子 5，也就能配出 24 个 10。

答案：100! 末尾有 24 个零。

背后的数学

推广到 $n!$ 末尾零个数，公式是勒让德（Legendre）定理的特例： $Z(n)=\sum_{k\ge 1}\left\lfloor \frac{n}{5^k}\right\rfloor$ 实质是统计质因数 5 在 $n!$ 中的总指数。同理可求“末尾有几个零”对任意进制 $b$（分解 $b$ 的质因数后取各素因子指数的最小值）。