泰勒斯定理：半圆上的角必是直角

题目

取一个圆，画出它的直径 $AB$，再在圆周上任取一点 $C$（$C$ 不与 $A,B$ 重合）。问：角 $\angle ACB$ 是多少度？

答案与解析

恒为 90°（直角）！ 这就是泰勒斯定理（Thales’ Theorem）。

证明极简：连圆心 $O$ 到 $C$，则 $OA=OB=OC$（都是半径），于是 $\triangle AOC$、$\triangle BOC$ 都是等腰三角形，$\angle A=\angle ACO$、$\angle B=\angle BCO$。三角形内角和： $\angle ACB = \angle ACO+\angle BCO = \angle A+\angle B = 180^\circ-\angle ACB$ 故 $\angle ACB=90^\circ$。

传说泰勒斯曾用它与影子比例，测出了埃及金字塔的高度——测出影子长度等于竿长时，金字塔影长即其高。

背后的数学

泰勒斯定理是圆周角定理的特例（直径所对圆周角 = 圆心角 180° 的一半 = 90°）。它把“直角”与“半圆”焊在一起，是尺规作图中“过三点作圆”“作垂直线”的理论依据，也是古希腊演绎几何最早的光亮之一。