1729：的士里诞生的传奇数

题目

找出最小的整数，能用两种不同方式表示为两个正整数的立方和。

答案与解析

答案是 1729。印度数学天才拉马努金（Ramanujan）的经典轶事：

哈代去医院看他，说自己是乘 1729 号出租车来的，“这数挺无聊的”。拉马努金立刻答：“不，它是最有趣的数——它是能用两种方式写成两立方和的最小整数。”

验证： $1729 = 1^3 + 12^3 = 1 + 1728$ $1729 = 9^3 + 10^3 = 729 + 1000$

这类数被命名为 Taxicab 数，记为 $\mathrm{Ta}(n)$：能用 $n$ 种方式表为两立方和的最小整数。$\mathrm{Ta}(1)=2$、$\mathrm{Ta}(2)=1729$、$\mathrm{Ta}(3)=87539319$……

背后的数学

1729 因此被称为哈代-拉马努金数。它体现了拉马努金对整数分拆与特殊数的惊人直觉。Taxicab 数与椭圆曲线、丢番图逼近深度相连，至今仍是数论里“最小反例/特例”文化的象征——在真正的数学家眼里，没有无聊的数，只有还没看懂的数。