圣彼得堡悖论：赢钱的期望是无穷大

题目

游戏规则：不断抛公平硬币，直到第一次出现正面。若正面出现在第 $n$ 次，你赢 $2^n$ 元（n=1 赢 2 元，n=2 赢 4 元……）。

你愿意花多少钱买这个游戏的入场券？按期望算该付多少？

答案与解析

第 $n$ 次首次正面的概率是 $(1/2)^n$，奖金 $2^n$，贡献期望 $(1/2)^n \cdot 2^n = 1$。总和： $E = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty$

期望收益是无穷大！ 可现实中，几乎没人愿意付哪怕几百块玩它——因为赢大钱的概率微乎其微（赢 1024 元要连抛 10 次反面，概率约千分之一）。

背后的数学

这就是 1738 年丹尼尔·伯努利提出的圣彼得堡悖论。它暴露了“期望货币值”作为决策准则的缺陷。伯努利的解决方案是引入效用函数：钱的“幸福感”边际递减，用期望效用而非期望金额做决策，于是合理出价变成有限值。它奠定了期望效用理论，是现代经济学与决策科学的基石之一。