完全数：自身因数之和恰等于自己

题目

一个数如果等于它除自身外所有正因数之和，就叫完全数（Perfect Number）。最小的完全数是 6（1+2+3=6），下一个是 28（1+2+4+7+14=28）。

已知的前几个：6, 28, 496, 8128…… 它们有什么共同公式？是否存在奇完全数？

欧几里得发现：当 $2^p - 1$ 是素数时， $N = 2^{p-1}(2^p - 1)$ 必为完全数。例如 $p=2$ ： $2^1(3)=6$ ； $p=3$ ： $4\times7=28$ ； $p=5$ ： $16\times31=496$ 。

欧拉后来补完了另一半：所有偶完全数都长这副模样。这里 $2^p-1$ 形的素数叫梅森素数——所以找偶完全数，等价于找梅森素数（GIMPS 项目至今已找到 51 个）。

至于奇完全数，至今一个都没找到，也没人能证明不存在。它是数论里最古老的悬案之一：若有，必大于 $10^{1500}$ 且至少有 101 个质因数。

完全数与亲和数（两数互为对方真因数之和，如 220 与 284）、盈数/亏数同属“整除函数 $\sigma(n)$ ”的研究。完全即 $\sigma(n)=2n$ 。这些概念贯穿了从古希腊到现代计算数论的整条脉络。