蒙提霍尔问题（三门问题）

题目

游戏里有三扇关着的门，其中一扇后面是一辆汽车，另外两扇后面是山羊。你先选一扇门（比如 1 号）。这时主持人——他知道每扇门后是什么——在你没选的两扇门中，打开一扇后面是山羊的门（比如他打开了 3 号，露出山羊）。然后他问你：

“你要不要改选剩下的那扇（2 号）？”

直觉上，剩下两扇门“各有一半机会”，换不换都一样。真的是这样吗？

答案与解析

换门！ 换门后赢车的概率是 2/3，坚持原选只有 1/3。

关键在于：你最初选中的那扇门，中奖概率永远是 1/3，因为是你“盲选”的。主持人打开一扇羊门，并没有给你的原选增加任何信息——它仍然是 1/3。那么剩下那扇没开、也没被你选的门，就承接了其余的 2/3。

换个角度看：假设你总是“换门”。你最初选到车（概率 1/3）时，换门必输；你最初选到羊（概率 2/3）时，主持人被迫打开另一扇羊门，剩下的那扇一定是车，换门必赢。所以换门的胜率恰好等于“一开始就选到羊”的概率，即 2/3。

背后的数学

这是条件概率最著名的反直觉例子，也叫“玛丽莲·沃斯·萨万特问题”（1980 年代《大观》杂志专栏引发全美论战，连不少数学家都写信道错）。用贝叶斯公式也能严格推出同样结论：主持人的动作提供了一个依赖你选择的额外信息，从而改变了剩余选项的条件概率。

它提醒我们：概率不是物体本身的属性，而是在给定信息下对不确定性的度量。信息变了，概率就该重算。