科赫雪花：周长无限，面积有限

题目

从等边三角形开始：把每条边中间三分之一段，向外折成一个小等边三角形（去掉底边）。对新生出的每条边，重复同样操作，无限进行下去。得到的“雪花”曲线，周长和面积会怎样？

答案与解析

每迭代一次：

• 边数变为原来的 4 倍，每段长度变为原来的 $1/3$，所以总周长变为原来的 $4/3$ 倍。无限迭代后 $(4/3)^n \to \infty$，周长发散到无穷。
• 每次新增的小三角形面积逐步累加，是一个等比级数，公比 $4/9 < 1$，总面积收敛到原三角形的 $8/5$ 倍（有限）。

于是得到一条无限长却只围住有限面积的闭合曲线——科赫雪花（Koch Snowflake）。

背后的数学

它是 1904 年海里格·冯·科赫构造的分形典范，维度约为 $\log 4 / \log 3 \approx 1.26$，介于线与面之间。它曾用来反驳“所有曲线都可求长”的旧观念，也启发了“海岸线有多长”的讨论——测量尺度越细，长度越长，正是分形的日常投影。