卡普雷卡尔常数 6174：四位数逃不出的黑洞

题目

取任意一个四位且数字不全相同的数（如 3524）。把它的数字按降序排、升序排，两数相减；对差重复同样操作。试试看，会发生什么？

示例： $9543 - 3459 = 6084$ $8640 - 0468 = 8172$ $8721 - 1278 = 7443$ $7443 - 3447 = 3996$ $9963 - 3699 = 6264$ $6642 - 2466 = 4176$ $7641 - 1467 = 6174$ $7641 - 1467 = 6174$

答案与解析

无论你从哪个合规四位数出发，最多 7 步，结果都会落到 6174，而且从此固定（因为 $7641-1467=6174$）。6174 因此被称为卡普雷卡尔常数（Kaprekar Constant），像一个吞噬数字的数学黑洞。

要求“数字不全相同”是因为像 1111 这样相减得 0，会掉进另一个平凡黑洞 0。

背后的数学

印度数学家卡普雷卡尔（D. R. Kaprekar）在 1949 年发现这个现象。它背后是模 9 与数位结构的约束：每一步操作保持数值模 9 不变，而 6174 恰好是四位数里满足“降序减升序等于自身”的唯一非平凡解。类似的黑洞还有三位数的 495。