分牛问题

题目

一位农夫去世，留下 17 头牛。遗嘱写道：

• 长子得 1/2；
• 次子得 1/3；
• 幼子得 1/9。

按 17 来分，17 的 1/2、1/3、1/9 都不是整数，牛又不能宰了分。三个儿子犯了难。一位路过的智者说：“这好办。”他牵来自己的 1 头牛，凑成 18 头，于是：

• 长子 $18\times 1/2 = 9$ 头；
• 次子 $18\times 1/3 = 6$ 头；
• 幼子 $18\times 1/9 = 2$ 头。

$9+6+2 = 17$，正好分完，智者把自己的 1 头牛又牵回去了。

明明多了一头牛才分得开，分完却一头不多、一头不少——这合理吗？

答案与解析

合理，而且妙在遗嘱本身就有“漏洞”：三个分数加起来不等于 1！

$\frac12 + \frac13 + \frac19 = \frac{9+6+2}{18} = \frac{17}{18} < 1$

也就是说，老人根本没把 17 头牛全部分完，只处置了其中的 $17/18$。智者借来的那头牛，恰好把总数补到公分母 18，使三个分数都变成整数；而分掉的 9+6+2=17 头，正好是原本该分的那些，剩下 $18-17=1$ 头自然归还。

背后的数学

这是一个**借一法（引进辅助量）**的经典例子，也顺带展示了“分数之和不足 1”的奇妙。

更一般地说：当若干比例 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\cdots$ 小于 1 且它们的公分母恰好等于“总量 ×（比例和）的整数倍”时，就能通过“借一个单位”来化简分配。类似的智慧题在中东、印度的民间数学里流传甚广，本质是用一个巧妙的整体变换绕开了分数取整的麻烦。